Στοιχεία Μαθήματος
Διδάσκων (Διδάσκοντες):
Μεταπτυχιακά Μαθήματα, Εαρινό
Τύπος μαθήματος: Ειδίκευσης
Γλώσσα Διδασκαλίας: Αγγλικά/Ελληνικά
Κωδικός Μαθήματος: GCHM_C741
Μονάδες ECTS: 8
Διαθέσιμότητα μαθήματος σε φοιτητές Erasmus: Όχι
Λεπτομέρειες Μαθήματος

Στο τέλος του μαθήματος ο φοιτητής θα πρέπει:

  1. Να έχει εμπεδώσει τις βασικές αρχές των πεπερασμένων στοιχείων, των ψευδοφασματικών μεθόδων, καθώς και των τεχνικών δημιουργίας πλέγματος.
  2. Να μπορεί να επιλύσει βασικά προβλήματα των υπολογιστικών φαινομένων μεταφοράς και υπολογιστικής ρευστομηχανικής.
  3. Να έχει εξάγει βασικούς κώδικες που θα τον βοηθήσουν στην ερευνητική δραστηριότητα ως μεταπτυχιακού φοιτητή σε θέματα μοντελοποίησης φαινομένων μεταφοράς.

 

Ο φοιτητής θα αναπτύξει τις ακόλουθες δεξιότητες:

  1. Προγραμματισμού υψηλού επιπέδου.
  2. Κατανόησης πλεονεκτημάτων και περιορισμών των αριθμητικών μεθόδων.
  3. Επιλογής της κατάλληλης μεθόδου σε δεδομένο πρόβλημα.
  4. Χρήσης υπολογιστικών κωδίκων στις δικές του ερευνητικές δραστηριότητες.

 

Προαπαιτούμενα μαθήματα δεν έχουν θεσμοθετηθεί. Οι φοιτητές πρέπει να έχουν καλή γνώση Διαφορ. & Ολοκληρ. Λογισμού, επίλυσης Διαφ. Εξισώσεων, Προγραμματισμού, Διαφορική Γεωμετρία και Αριθμητικές Μέθοδοι σε προπτυχιακό επίπεδο.

 

  1. Επανάληψη στην Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών για την επίλυση Συνήθων και Μερικών ΔΕ. Η τεχνική σταθεροποίησης Upwinding στην περίπτωση προβλημάτων συναγωγής-διάχυσης. Ζωνικοί επιλυτές και ο επιλυτής Thomas.
  2. Ορθογώνια πολυώνυμα: Chebyshev, Jacobi, Fourier. Αρχές των μεθόδων των ζυγισμένων υπολοίπων κατά Galerkin, ελαχίστων τετραγώνων, και collocation. Επίλυση μονοδιάστατων προβλημάτων με περιοδικές συνθήκες  ή συνθήκες Dirichlet, Robin μέσω Ψευδοφασματικών μεθόδων.
  3. Η ασθενής μορφή. Παραδείγματα υπολογισμού της ασθενούς μορφής μιας ΣΔΕ. Ουσιώδεις και φυσικές συνοριακές συνθήκες και ο τρόπος εφαρμογής τους.   
  4. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων κατά Galerkin σε μια διάσταση στον χώρο. Τα διαδοχικά βήματα για την μετατροπή γραμμικής διαφορικής εξίσωσης προβλήματος συνοριακών συνθηκών σε μια διάσταση στην αντίστοιχη ολοκληρωτική μορφή με την μέθοδο Galerkin. Εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών. Κατασκευή τοπικών συναρτήσεων βάσης στο φυσικό χώρο επίλυσης. Τα γραμμικά και τα τετραγωνικά πολυώνυμα Lagrange.
  5. Συγκρότηση του γραμμικού αλγεβρικού προβλήματος. Επίλυση του γραμμικού συστήματος εξισώσεων. Ζωνικοί και αραιοί επιλυτές.
  6.  Επίλυση μη γραμμικού προβλήματος συνοριακών συνθηκών σε μια διάσταση με την μέθοδο Newton-Raphson.
  7. Στοιχεία αναφοράς στις 1D-3D διαστάσεις: γραμμικό, τετραγωνικό, τριγωνικό, τετραεδρικό και εξαεδρικό στοιχείο. Συναρτήσεις βάσης Lagrange και Hermite.
  8. Υπολογισμός των ολοκληρωμάτων με την μέθοδο Gauss στις 1D-3D διαστάσεις σε πρότυπες γεωμετρίες.
  9. Πρακτικές εφαρμογές των ανωτέρω. Επίδειξη και ανάλυση κώδικα πεπερασμένων στοιχείων κατά Galerkin σε μια διάσταση στον χώρο. Επίλυση μη-γραμμικού προβλήματος διάχυσης-αντίδρασης.
  10. Σύγκριση κυβικών πολυωνύμων Lagrange και κυβικών πολυωνύμων Hermite. Επίλυση προβλημάτων όπου εμφανίζονται τρίτης και τέταρτης τάξης παράγωγοι ή συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Ακρίβεια και σύγκλιση αποτελεσμάτων.
  11. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων κατά Galerkin σε δύο και τρεις διαστάσεις στον χώρο. Κατασκευή πλέγματος σε δύο και τρεις διαστάσεις.
  12. Επίδειξη και ανάλυση κώδικα πεπερασμένων στοιχείων κατά Galerkin σε 1D-3D διαστάσεις στον χώρο.
  13. Επίλυση παραβολικών προβλημάτων με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων κατά Galerkin Εφαρμογή συνοριακών και αρχικών συνθηκών. Επίλυση μη-γραμμικού και χρονομεταβαλλόμενου προβλήματος αγωγής θερμότητας.
  14. Υπολογισμός ιδιοτιμών ελλειπτικών προβλημάτων με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων κατά Galerkin. Εφαρμογές από την ρευστομηχανικής.
  15. Δομημένο και μη-δομημένο Πλέγμα κόμβων. Τεχνικές δημιουργίας του πλέγματος: Ελλεπτικές και αλγεβρικές μέθοδοι.
  16. Ποιοτικά στοιχεία πλέγματος. Συνορο-προσαρμοζόμενα και σφαλματο-προσαρμόζομενα πλέγματα. 

 

Βιβλίο του Μαθήματος
Burnett D.S., Finite Element Analysis: From Concepts to
Applications, Addison Wesley, 1987 (ISBN-10:
0201108062).

Επιπλέον βιβλιογραφία:

  1. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., & Zhu, J.Z., The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Seventh Edition, Butterworth-Heinemann, 2013 (ISBN-10: 1856176339).
  2. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., & Nithiarasu, P., The Finite Element Method For Fluid Dynamics, Sixth Edition, Butterworth-Heinemann, 2005 (ISBN-10: 0750663227).
  3. Chung, T.J., Computational Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 2010 (ISBN-10: 0521769698).
  4. Liseikin, V.D., Grid Generation, Scentific Computation, Second Edition, Springer, 2009 (ISBN-10: 9048129117).
  5. Canuto, C., Hussaini, M.Y., Quarteroni, A., & Zang, T.A., Spectral Methods: Fundamentals in Single Domains, Fourth Edition, Springer, 2011 (ISBN-10: 3540307257).

 

  • Γίνονται παραδόσεις με Powerpoint & ασκήσεις που λύνονται στον πίνακα. Οι διαφάνειες μοιράζονται στους φοιτητές σε ηλεκτρονική μορφή.
  • Δίδονται 6 set ασκήσεων  που λύνουν οι φοιτητές/τριες σε όλο το εξάμηνο για εμπέδωση της ύλης. Απαιτείται να τις λύνουν μέσα σε 1 εβδομάδα αφού έχουν την δυνατότητα μέχρι την μέρα παράδοσης να ρωτούν διευκρινήσεις.
  • Δίνονται βασικοί κώδικες στις 1D-3D για πεπερασμένα στοιχεία.

 

Ο βαθμός στο μάθημα προκύπτει από τις ασκήσεις (45%), και ένα ατομικό ερευνητικό project (55%) βασισμένο στη σύγχρονη περιοδική επιστημονική βιβλιογραφία (λ.χ. Journal of Computational Physics).