Υποστήριξη Διδακτορικής Διατριβής - Φραγκογιάννης Γεώργιος

Το ελλειψοειδές σύστημα συντεταγμένων είναι το πιο γενικό ορθογώνιο καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων, που αντιπροσωπεύει την πλήρη ανισοτροπία του τρισδιάστατου χώρου. Ωστόσο, η φασματική ανάλυση του τελεστή του Laplace οδηγεί στις συναρτήσεις Lamé, οι οποίες δεν είναι δυνατό να παραχθούν όλες σε αναλυτική μορφή. Στην παρούσα διατριβή λοιπόν δίνονται νέες εκφράσεις και η μεθοδολογία αριθμητικού υπολογισμού των συναρτήσεων Lamé για οποιοδήποτε βαθμό, συνοδευόμενα από δύο εφαρμογές. Η πρώτη εφαρμογή αποτελεί μέρος μιας σειράς μαθηματικών μοντέλων σχετικά με την εξέλιξη μη αγγειακών όγκων που παρουσιάζουν τόσο γεωμετρική ανισοτροπία όσο και φυσική ανομοιογένεια. Αποδεικνύεται ότι η έλλειψη συμμετρίας συνδέεται στενά με μια ειδική συνθήκη που πρέπει να ισχύει μεταξύ των δεδομένων που επιβάλλονται από το περιβάλλον μέσο του όγκου ώστε να είναι εφικτή η ελλειψοειδής εξέλιξη. Η συγκέντρωση των θρεπτικών συστατικών και του αναστολέα, καθώς και το πεδίο πίεσης, δίνονται σε κλειστή μορφή, ενώ η παραγόμενη εξίσωση εξέλιξης των ελλειψοειδών διεπιφανειών του όγκου επιλύεται αριθμητικά. Η δεύτερη εφαρμογή σχετίζεται με τον υπολογισμό ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων κοντά σε αιχμηρές ακμές και γωνίες, που μαθηματικά αναπαριστούν ιδιομορφίες. Εισάγεται μία νέα μέθοδος που εκμεταλλεύεται τη γεωμετρία και την ανάλυση του ελλειψοειδούς συστήματος συντεταγμένων, στην οποία χρησιμοποιείται η ασύμπτωτος ενός ελλειπτικού υπερβολοειδούς, που είναι δίχωνος ελλειπτικός κώνος. Συγκεκριμένα, υιοθετούνται οι συναρτήσεις Lamé και κατασκευάζονται νέα σύνολα υπερβολοειδών αρμονικών συναρτήσεων και επιφανειακών αρμονικών, μαζί με τους σχετικούς κανόνες ορθογωνιότητας. Στη συνέχεια, γίνεται εφαρμογή σε δύο προβλήματα συνοριακών τιμών της ηλεκτροστατικής που χρησιμοποιούν αδιαπέραστο δίχωνο ελλειπτικό υπερβολοειδές και την οριακή περίπτωση του δίχωνου ελλειπτικού κώνου, που στην πρώτη περίπτωση είναι φορτισμένο και στη δεύτερη σκεδάζει επίπεδο κύμα, ενώ παράγονται σε κλειστή μορφή οι εκφράσεις για τα σχετιζόμενα πεδία. Στο τελευταίο μέρος της διατριβής εξετάζεται το ελλειψοειδές σύστημα μέσω των ελλειψοειδών συντεταγμένων του Jacobi. Μέσω των νέων συντεταγμένων κάθε σημείο του χώρου προσδιορίζεται μονοσήμαντα και γίνεται σαφής ο γεωμετρικός εκφυλισμός του ελλειψοειδούς συστήματος συντεταγμένων στο σφαιροειδές ή σφαιρικό σύστημα, ενώ διευκολύνεται η διαδικασία αναγωγής αποτελεσμάτων γιατί αίρονται τυχόν απροσδιόριστες μορφές.