Στοιχεία Μαθήματος
Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Το μάθημα δεν θα διδαχθεί σε αυτό το εξάμηνο
Λεπτομέρειες Μαθήματος
Στο τέλος του μαθήματος ο/η φοιτητής/φοιτήτρια πρέπει:
- Να κατέχει τις γνώσεις των βασικών εφαρμοσμένων μαθηματικών για μηχανικούς, στην ευρεία περιοχή των μερικών διαφορικών εξισώσεων, που χρειάζονται στην επιστήμη του/της.
- Να γνωρίζει τις νέες έννοιες σε μορφή ορισμών και θεωρημάτων που αφορούν τη βασική ύλη του μαθήματος "Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις", ώστε να είναι ικανός/ή να τις εφαρμόζει.
- Να συνδυάζει και να αξιοποιεί τις γνώσεις που απέκτησε σε άλλα πεδία των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, στα οποία χρησιμοποιούνται εκτενώς έννοιες του εν λόγω μαθήματος.
Στο τέλος αυτού του μαθήματος ο/η φοιτητής/φοιτήτρια θα έχει περαιτέρω αναπτύξει τις ακόλουθες δεξιότητες:
- Ικανότητα κατανόησης των βασικών εννοιών, αρχών και εφαρμογών που σχετίζονται με τις μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης και δεύτερης (ελλειπτικού, παραβολικού και υπερβολικού τύπου) τάξης.
- Ικανότητα να εφαρμόζει αυτή τη γνώση σε προβλήματα άλλων πεδίων της ευρύτερης έννοιας των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, σχετιζόμενων με την επιστήμη του Χημικού Μηχανικού ή σε προβλήματα διεπιστημονικής φύσης.
- Δεξιότητες μελέτης που χρειάζονται για τη συνεχή επαγγελματική ανάπτυξη.
Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα μαθήματα. Ωστόσο, οι φοιτητές και οι φοιτήτριες πρέπει να έχουν ήδη τη βασική γνώση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού μίας και πολλών μεταβλητών, της διανυσματικής ανάλυσης, καθώς επίσης και της γραμμικής άλγεβρας, την οποία διδάχτηκαν στα αντίστοιχα μαθήματα "Λογισμός Μίας Μεταβλητής και Γραμμική Άλγεβρα" και "Λογισμός Πολλών Μεταβλητών και Διανυσματική Ανάλυση". Επίσης, απαιτείται η βασική γνώση σε θέματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, την οποία διδάχτηκαν στο αντίστοιχο μάθημα "Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις".
Έννοια μερικής διαφορικής εξίσωσης και λύσης της, καλή τοποθέτηση προβλήματος, αναλυτική και αριθμητική προσέγγιση, υβριδικές μέθοδοι αντιμετώπισης. Γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και χρήση χαρακτηριστικών καμπυλών για εύρεση γενικής λύσης, συνθήκες ή δεδομένα Cauchy και πρότυπα εφαρμοσμένων προβλημάτων. Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης, κύριες εφαρμογές στη σύγχρονη τεχνολογία και στη μαθηματική φυσική. Συναρτησιακό του Dirac και συνάρτηση Heaviside. Ειδικές συναρτήσεις Bessel και Legendre, σφαιρικές αρμονικές, ορθογωνιότητα και αναγωγικοί τύποι. Γενική εισαγωγή σε βασικούς ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς. Εξισώσεις ελλειπτικού τύπου και προβλήματα συνοριακών τιμών. Εξισώσεις Laplace και Helmholtz, επίλυση με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών και ιδιοσυναρτήσεις σε Καρτεσιανές, πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες με εφαρμογές σε διάφορα φυσικά προβλήματα και χωρικός μετασχηματισμός Fourier. Εξισώσεις παραβολικού τύπου (εξίσωση διάχυσης) και μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών, μη ομογενή προβλήματα και χειρισμός τους με τις μεθόδους ασυμπτωτικών λύσεων και ανάπτυξης σε ιδιοσυναρτήσεις. Σύντομη εισαγωγή στις εξισώσεις υπερβολικού τύπου (εξίσωση κύματος) και μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών, βασικές έννοιες της κυματικής διάδοσης, πεπερασμένη και άπειρη χορδή. Επίλυση προβλημάτων παραβολικού και υπερβολικού τύπου με αρχικές και συνοριακές τιμές με χρήση των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών Fourier στο χώρο και Laplace στο χρόνο.
Χρήση ιστοσελίδων και e–class.
- Διδασκαλία (2 ώρες/εβδομάδα): διαλέξεις με την χρήση πίνακα που αφορούν στη θεωρία και την εφαρμογή της σε τυπικά μαθηματικά προβλήματα του Χημικού Μηχανικού.
- Φροντιστήριο (1 ώρα/εβδομάδα): επίλυση στον πίνακα ασκήσεων που αφορούν κυρίως σε μαθηματικές εφαρμογές της επιστήμης του Χημικού Μηχανικού.
Οργάνωση Διδασκαλίας
|
Δραστηριότητα |
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου |
|---|---|
|
Διαλέξεις & Φροντιστήριο |
39 |
|
Μελέτη & Ανάλυση Βιβλιογραφίας |
62 |
|
Τελική Εξέταση |
3 |
Συνολικός Φόρτος Εργασίας (ECTS Standards):
Η γλώσσα αξιολόγησης είναι η Ελληνική και η αξιολόγηση περιλαμβάνει τελική γραπτή εξέταση (100%). Τα κριτήρια αξιολόγησης αναφέρονται ρητά στην ιστοσελίδα του μαθήματος και στο φύλλο μαθήματος στον Οδηγό Σπουδών.
- Π.Μ. Χατζηκωνσταντίνου, "Μαθηματικές Μέθοδοι για Μηχανικούς και Επιστήμονες: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Σειρές Fourier & Προβλήματα Συνοριακών Τιμών – Μιγαδικές Συναρτήσεις", Εκδόσεις Γκότσης Κων/νος & ΣΙΑ Ε.Ε., Πάτρα, 2017 (Εύδοξος / κωδικός 68379884).
- Σ. Τραχανάς, "Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις", Ίδρυμα Τεχνολογίας & Έρευνας – Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2009 (Εύδοξος / κωδικός 228).