Στοιχεία Μαθήματος
Λογισμός Μίας Μεταβλητής και Γραμμική Άλγεβρα
Το μάθημα δεν θα διδαχθεί σε αυτό το εξάμηνο
Λεπτομέρειες Μαθήματος
Στο τέλος του μαθήματος ο/η φοιτητής/φοιτήτρια πρέπει:
- Να κατέχει τις γνώσεις των βασικών εφαρμοσμένων μαθηματικών για μηχανικούς, στην ευρεία περιοχή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων μίας μεταβλητής, των σειρών αριθμών και συναρτήσεων, καθώς επίσης και της γραμμικής άλγεβρας, που χρειάζονται στην επιστήμη του/της.
- Να γνωρίζει τις νέες έννοιες σε μορφή ορισμών και θεωρημάτων που αφορούν στη βασική ύλη του μαθήματος "Λογισμός Μίας Μεταβλητής και Γραμμική Άλγεβρα", ώστε να είναι ικανός/ή να τις εφαρμόζει.
- Να συνδυάζει και να αξιοποιεί τις γνώσεις που απέκτησε σε άλλα πεδία των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, στα οποία χρησιμοποιούνται εκτενώς έννοιες του εν λόγω μαθήματος.
Στο τέλος αυτού του μαθήματος ο/η φοιτητής/φοιτήτρια θα έχει περαιτέρω αναπτύξει τις ακόλουθες δεξιότητες:
- Ικανότητα κατανόησης των βασικών εννοιών, αρχών και εφαρμογών που σχετίζονται με το διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό συναρτήσεων μίας μεταβλητής, με τις σειρές αριθμών και συναρτήσεων, όπως επίσης και με τη γραμμική άλγεβρα.
- Ικανότητα να εφαρμόζει αυτή τη γνώση σε προβλήματα άλλων πεδίων της ευρύτερης έννοιας των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, σχετιζόμενων με την επιστήμη του Χημικού Μηχανικού ή σε προβλήματα διεπιστημονικής φύσης.
- Δεξιότητες μελέτης που χρειάζονται για τη συνεχή επαγγελματική ανάπτυξη.
Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα μαθήματα. Ωστόσο, οι φοιτητές και οι φοιτήτριες πρέπει να έχουν ήδη τη βασική γνώση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων μίας μεταβλητής, καθώς και της κύριας θεωρίας των διανυσμάτων από το σχολείο.
Καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο, εισαγωγή στο λογισμό μίας μεταβλητής και η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής. Συναρτήσεις μίας μεταβλητής, η έννοια της απεικόνισης, όριο και συνέχεια, θεώρημα Boltzano. Παράγωγος πρώτης ή ανώτερης τάξης συναρτήσεων και γεωμετρική ερμηνεία, κανόνες παραγώγισης και ολικό διαφορικό. Αντίστροφες και σύνθετες συναρτήσεις, παραμετρικές εξισώσεις καμπύλων, πεπλεγμένες μορφές και κανόνας L’ Hospital. Ανάλυση, μονοτονία και ακρότατα συναρτήσεων, ασύμπτωτες. Θεώρημα Fermat και θεωρήματα μέσης τιμής. Ακολουθίες, σειρές αριθμών και κριτήρια σύγκλισης. Σειρές συναρτήσεων, κριτήρια ομοιόμορφης σύγκλισης και δυναμοσειρές. Γενικευμένο θεώρημα μέσης τιμής ή τύπος Taylor και τοπική προσέγγιση συνάρτησης, διωνυμικό ανάπτυγμα. Σειρές Taylor και Maclaurin, διωνυμική σειρά και σύγκλιση. Σειρές Fourier και ολική προσέγγιση συνάρτησης. Εφαρμογές παραγώγων με χρήση μεθόδου ακρότατων για συναρτήσεις φυσικού ενδιαφέροντος και εύρεση καμπυλότητας καμπύλης στο επίπεδο. Αόριστο ολοκλήρωμα συναρτήσεων και αναλυτικές τεχνικές ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωμα κατά Riemann και ορισμένο ολοκλήρωμα. Εισαγωγή στις αριθμητικές μεθόδους ολοκλήρωσης και στα γενικευμένα ολοκληρώματα. Εφαρμογές ολοκληρωμάτων στον υπολογισμό εμβαδών επίπεδων χωρίων, μήκους καμπύλης στο επίπεδο, εμβαδών επιφανειών και όγκων χωρίων εκ περιστροφής. Εισαγωγή στα διανύσματα στο επίπεδο και η έννοια της τρίτης χωρικής διάστασης. Εσωτερικό, εξωτερικό, μικτό και δισεξωτερικό γινόμενο, γεωμετρική ερμηνεία. Θεωρία πινάκων και τετραγωνικοί πίνακες, ορίζουσα και αντίστροφος πίνακας. Ομογενή και μη ομογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων, επίλυση με τη μέθοδο απαλοιφής Gauss. Φασματική ανάλυση πίνακα, ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα ή χαρακτηριστικά μεγέθη και φυσική σημασία, θεώρημα Cayley-Hamilton. Αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών, διαγωνοποίηση τετραγωνικού πίνακα. Εκφυλισμένες ιδιοτιμές, βαθμός εκφυλισμού και γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, πίνακας Jordan. Γενίκευση εσωτερικού γινομένου, η έννοια της norm, απόσταση και ορθοκανονικοποίηση με τη μέθοδο Gram-Schmidt.
Χρήση ιστοσελίδων και e–class.
- Διδασκαλία (4 ώρες/εβδομάδα): διαλέξεις με την χρήση πίνακα που αφορούν στη θεωρία και την εφαρμογή της σε τυπικά μαθηματικά προβλήματα του Χημικού Μηχανικού.
- Φροντιστήριο (2 ώρες/εβδομάδα): επίλυση στον πίνακα ασκήσεων που αφορούν κυρίως σε μαθηματικές εφαρμογές της επιστήμης του Χημικού Μηχανικού.
Οργάνωση Διδασκαλίας
|
Δραστηριότητα |
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου |
|
Διαλέξεις & Φροντιστήριο |
78 |
|
Μελέτη & Ανάλυση Βιβλιογραφίας |
78 |
|
Τελική Εξέταση |
3 |
Συνολικός Φόρτος Εργασίας (ECTS Standards):
Η γλώσσα αξιολόγησης είναι η Ελληνική και η αξιολόγηση περιλαμβάνει τελική γραπτή εξέταση (100%). Τα κριτήρια αξιολόγησης αναφέρονται ρητά στην ιστοσελίδα του μαθήματος και στο φύλλο μαθήματος στον Οδηγό Σπουδών.
- Β.Β. Μάρκελλος, "Εφαρμοσμένα Μαθηματικά", Εκδόσεις Γκότσης Κων/νος & ΣΙΑ Ε.Ε., Πάτρα, 2013 (Εύδοξος / κωδικός 32998565).
- Κ.Ε. Παπαδάκης, "Εφαρμοσμένα Μαθηματικά", Εκδόσεις Α. Τζιόλας & Υιοί Α.Ε., Θεσσαλονίκη, 2021 (Εύδοξος / κωδικός 102071933).
- Δ. Γεωργίου, Σ. Ηλιάδης και Θ. Μεγαρίτης, "Πραγματική Ανάλυση", Εκδόσεις Α. Τζιόλας & Υιοί Α.Ε., Θεσσαλονίκη, 2018 (Εύδοξος / κωδικός 77106793).
- Ν. Μυλωνάς, Χ. Σχοινάς και Γ. Παπασχοινόπουλος, "Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής & Γραμμική Άλγεβρα", Εκδόσεις Α. Τζιόλας & Υιοί Α.Ε., Θεσσαλονίκη, 2017 (Εύδοξος / κωδικός 68369901).
- Θ.Μ. Ρασσιάς, "Μαθηματικά Ι", Εκδόσεις Τσότρας Αν. Αθανάσιος, Αθήνα, 2017 (Εύδοξος / κωδικός 68375438).