Στοιχεία Μαθήματος
Λογισμός Πολλών Μεταβλητών και Διανυσματική Ανάλυση
Το μάθημα δεν θα διδαχθεί σε αυτό το εξάμηνο
Λεπτομέρειες Μαθήματος
Στο τέλος του μαθήματος ο/η φοιτητής/φοιτήτρια πρέπει:
- Να κατέχει τις γνώσεις των βασικών εφαρμοσμένων μαθηματικών για μηχανικούς, στην ευρεία περιοχή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, καθώς επίσης και της διανυσματικής ανάλυσης, που χρειάζονται στην επιστήμη του/της.
- Να γνωρίζει τις νέες έννοιες σε μορφή ορισμών και θεωρημάτων που αφορούν τη βασική ύλη του μαθήματος "Λογισμός Πολλών Μεταβλητών και Διανυσματική Ανάλυση", ώστε να είναι ικανός/ή να τις εφαρμόζει.
- Να συνδυάζει και να αξιοποιεί τις γνώσεις που απέκτησε σε άλλα πεδία των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, στα οποία χρησιμοποιούνται εκτενώς έννοιες του εν λόγω μαθήματος.
Στο τέλος αυτού του μαθήματος ο/η φοιτητής/φοιτήτρια θα έχει περαιτέρω αναπτύξει τις ακόλουθες δεξιότητες:
- Ικανότητα κατανόησης των βασικών εννοιών, αρχών και εφαρμογών που σχετίζονται με το διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, όπως επίσης και με τη διανυσματική ανάλυση.
- Ικανότητα να εφαρμόζει αυτή τη γνώση σε προβλήματα άλλων πεδίων της ευρύτερης έννοιας των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, σχετιζόμενων με την επιστήμη του Χημικού Μηχανικού ή σε προβλήματα διεπιστημονικής φύσης.
- Δεξιότητες μελέτης που χρειάζονται για τη συνεχή επαγγελματική ανάπτυξη.
Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα μαθήματα. Ωστόσο, οι φοιτητές και οι φοιτήτριες πρέπει να έχουν ήδη τη βασική γνώση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων μίας μεταβλητής, καθώς επίσης και της γραμμικής άλγεβρας, την οποία διδάχτηκαν στο αντίστοιχο μάθημα "Λογισμός Μίας Μεταβλητής και Γραμμική Άλγεβρα".
Καρτεσιανές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες στο χώρο. Κυλινδρικές επιφάνειες και επιφάνειες δευτέρου βαθμού. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, όριο, συνέχεια, μερική παράγωγος πρώτης ή ανώτερης τάξης συναρτήσεων και γεωμετρική ερμηνεία. Κανόνες παραγώγισης, θεώρημα Schwartz και παράγωγος κατά κατεύθυνση. Ολικό διαφορικό και η έννοια της διαφορισιμότητας. Σύνθετες συναρτήσεις και ομογενείς εξισώσεις, πεπλεγμένες μορφές και βασικά θεωρήματα ύπαρξης. Ιακωβειανή ορίζουσα και συναρτησιακή εξάρτηση. Θεωρήματα μέσης τιμής Taylor και Maclaurin. Ακρότατα συναρτήσεων και δεσμευμένα ακρότατα, πολλαπλασιαστές Lagrange. Διανυσματική ανάλυση και διανύσματα στο χώρο. Όριο, συνέχεια και παράγωγος διανυσματικών συναρτήσεων μίας και πολλών μεταβλητών. Στοιχεία από τη διαφορική γεωμετρία των καμπυλών στο χώρο. Διάνυσμα θέσης σωματιδίου, διάνυσμα ταχύτητας και επιτάχυνσης. Μοναδιαίο εφαπτόμενο και μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα σε καμπύλη. Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ή τρίεδρο Frenet-Serret, καμπυλότητα και στρέψη καμπύλης. Κλίση ή βάθμωση συναρτήσεων, τανυστικό γινόμενο, απόκλιση και περιστροφή ή στροβιλισμός διανυσματικών συναρτήσεων, η φυσική τους ερμηνεία και βασικές διανυσματικές ταυτότητες. Διαφορικός τελεστής Laplace, αρμονικές συναρτήσεις και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις Helmholtz, κύματος και διάχυσης. Αστρόβιλα και σωληνοειδή πεδία, το θεώρημα αποσύνθεσης Helmholtz. Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων, διανυσματική ερμηνεία Ιακωβειανής ορίζουσας, ειδικές ορθογώνιες και καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, μετασχηματισμοί και αλλαγή συντεταγμένων. Εφαρμογές μερικών παραγώγων στη γεωμετρία, εφαπτόμενο επίπεδο και κάθετη ευθεία σε επιφάνεια, εφαπτόμενη ευθεία και κάθετο επίπεδο σε καμπύλη. Πολλαπλή ολοκλήρωση συναρτήσεων, διπλά και τριπλά ολοκληρώματα, αλλαγή συστήματος συντεταγμένων και εφαρμογές στην εύρεση εμβαδών επίπεδων επιφανειών, όγκων τρισδιάστατων χωρίων, μάζας, ροπών αδρανείας και κέντρου βάρους. Επικαμπύλια ολοκληρώματα πρώτου και δευτέρου είδους, εφαρμογή στην εύρεση έργου δυνάμεως και θεώρημα Green στο επίπεδο. Η έννοια της κυκλοφορίας διανυσματικών συναρτήσεων, επικαμπύλια ολοκληρώματα ανεξάρτητα διαδρομής ολοκλήρωσης και εφαρμογές. Επιφανειακά ολοκληρώματα και παραμετρικοποίηση επιφανείας, εφαρμογή στην εύρεση εμβαδού επιφανείας στο χώρο. Ολοκληρωτικά θεωρήματα Gauss και Stokes ή Green στο χώρο και η φυσική τους σημασία.
Χρήση ιστοσελίδων και e–class.
- Διδασκαλία (4 ώρες/εβδομάδα): διαλέξεις με την χρήση πίνακα που αφορούν στη θεωρία και την εφαρμογή της σε τυπικά μαθηματικά προβλήματα του Χημικού Μηχανικού.
- Φροντιστήριο (2 ώρες/εβδομάδα): επίλυση στον πίνακα ασκήσεων που αφορούν κυρίως σε μαθηματικές εφαρμογές της επιστήμης του Χημικού Μηχανικού.
Οργάνωση Διδασκαλίας
|
Δραστηριότητα |
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου |
|---|---|
|
Διαλέξεις & Φροντιστήριο |
78 |
|
Μελέτη & Ανάλυση Βιβλιογραφίας |
78 |
|
Τελική Εξέταση |
3 |
Συνολικός Φόρτος Εργασίας (ECTS Standards):
Η γλώσσα αξιολόγησης είναι η Ελληνική και η αξιολόγηση περιλαμβάνει τελική γραπτή εξέταση (100%). Τα κριτήρια αξιολόγησης αναφέρονται ρητά στην ιστοσελίδα του μαθήματος και στο φύλλο μαθήματος στον Οδηγό Σπουδών.
- Π.Μ. Χατζηκωνσταντίνου, "Μαθηματικές Μέθοδοι για Μηχανικούς και Επιστήμονες: Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών & Διανυσματική Ανάλυση", Εκδόσεις Γκότσης Κων/νος & ΣΙΑ Ε.Ε., Πάτρα, 2017 (Εύδοξος / κωδικός 68381163).
- J. Hass, C. Heil και M.D. Weir, "Thomas Απειροστικός Λογισμός" (μετάφραση Γ. Κωτσόπουλος), Ίδρυμα Τεχνολογίας & Έρευνας – Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2018 (Εύδοξος / κωδικός 77107082).
- Δ. Γεωργίου, Θ. Καρακασίδης και Α. Μεγαρίτης, "Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών", Εκδόσεις Α. Τζιόλας & Υιοί Α.Ε., Θεσσαλονίκη, 2022 (Εύδοξος / κωδικός 112690385).